精密離心機(jī)主要用于線加速度計等慣性儀表的校準(zhǔn) ［1-2］ 。靜態(tài)半徑是向心加速度的重要組成部分，其 和檢測   高精度測量關(guān)系到精密離心機(jī)輸出加速度值的準(zhǔn)確度和 不確定度，進(jìn)而影響加速度計的校準(zhǔn)和檢測精度  精 密離心機(jī)靜態(tài)半徑的測量不確定度**少要比精密離心機(jī)輸出加速度的測量不確定度高 1 倍甚**更高，對于加速 度相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度為 10 ^－ 5 或 10 ^－ 6 量級的精密離心機(jī)， 其對靜態(tài)半徑測量方法、測量系統(tǒng)以及精密離心機(jī)自身   的整體性能都提出了極高要求。目前G內(nèi)外主要有 2 種靜態(tài)半徑測量方法。一是采用精密量塊和基準(zhǔn)環(huán)或激光自準(zhǔn)直儀等進(jìn)行直接測
 
［4-6］
量 。該方法受離心機(jī)主軸回轉(zhuǎn)誤差和加速度計質(zhì)心不確定性影響較大，且測量環(huán)節(jié)多，測量精度不高，一般
 
只用于低精度的精密離心機(jī)靜態(tài)半徑測量。
 
［7］
反算法 測量靜態(tài)半徑是以重力場下的某個加速度值( 一般取 1g) 為基準(zhǔn)，調(diào)整精密離心機(jī)轉(zhuǎn)速使待測加速度計輸出值等于該基準(zhǔn)值，通過修正的加速度載荷公式來反算該狀態(tài)下的工作半徑，以此作為精密離心機(jī)的基準(zhǔn)半徑，其他狀態(tài)的工作半徑等于該基準(zhǔn)半徑加上相應(yīng)的離心機(jī)轉(zhuǎn)盤或大臂的徑向動態(tài)變化量。文獻(xiàn)［8］提供的靜態(tài)半徑反算法只考慮向心加速度，適用于一般精度或低精度的精密離心機(jī); 文獻(xiàn)［9］提出的靜態(tài)半徑反算法測量精度有所提高，但沒有考慮加速度計制造及安裝夾具帶來的俯仰失準(zhǔn)角對靜態(tài)半徑的影響，而且受加速度計自身、加速度模型方程以及測量儀器的系統(tǒng)偏差影響較大，也不能用于高精度精密離心機(jī)的靜態(tài)半徑測量。此外，采用測量不確定度來定量評價測量結(jié)果的精度在G內(nèi)外正成為一種趨
［10-14］，
勢 然而精密離心機(jī)靜態(tài)半徑測量不確定度評定方面的工作G內(nèi)外沒有公開的文獻(xiàn)報道，G內(nèi)僅有 2 篇文獻(xiàn)作
［5-6］
了簡要的敘述和說明 。由于高精度精密離心機(jī)及其靜
 
態(tài)半徑測量很難采用更高精度的儀器或設(shè)備來檢定、校核其精度，科學(xué)、合理的測量不確定度評定模型及評定方法
 
就變得非常重要。
 
本文提出一種改進(jìn)的反算法，使之能夠應(yīng)用于 10 ^－ 5 以下量級的高精度精密離心機(jī)靜態(tài)半徑測量，構(gòu)建測量系統(tǒng)及不確定度評定模型，并在自研的 10 ^－ 5 量級精密離
 
心機(jī)靜態(tài)半徑測量中得到了較好應(yīng)用。
 
2 靜態(tài)半徑測量反算法
 
2． 1  測量原理
 
不同精度等級的精密離心機(jī)對靜態(tài)半徑測量精度要求不同，表 1 給出了不同精度的精密離心機(jī)對應(yīng)的工作半徑測量精度要求。工作半徑等于靜態(tài)半徑與動態(tài)半徑之和，故靜態(tài)半徑的測量精度還要高于表 1 中數(shù)值。對于高精度精密離心機(jī)，靜態(tài)半徑測量精度要求極高，其測量過程中考慮的影響因素增多，這些需要考慮的因素在
 
下文中進(jìn)行分析。
 
［4］
表 1 精密離心機(jī)等級分類
 
Table 1 Classification of precision centrifuge
 

序號	精密離心機(jī)	精密離心機(jī)加速度	工作半徑測量不
	準(zhǔn)確度等級準(zhǔn)	測量不確定度	確定度要求
1	0． 1 級	10 － 3	5 × 10 － 4
2	0． 01 級	10 － 4	5 × 10 － 5
3	0． 001 級	10 － 5	7 × 10 － 6
4	0． 000 1 級	10 － 6	7 × 10 － 7

采用待測加速度計輸出值來反算精密離心機(jī)靜態(tài)半徑的原理如圖 1 所示。靜態(tài)半徑定義為主軸回轉(zhuǎn)軸線到待測加速度計有效質(zhì)量中心的距離。待測加速度計輸入軸與精密離心機(jī)工作半徑方向重合時，加速度計感受到的加速度含有向心加速度，而向心加速度又是靜態(tài)半徑的函數(shù)，故加速度計輸出值中含有靜態(tài)半徑的信息。結(jié)合加速度計在重力場下校準(zhǔn)得到的一階靜態(tài)模型方程以及其他測量分量，按照已確定的精密離心機(jī)輸出到加速度計輸入軸上的加速度數(shù)學(xué)模型即可反解出此狀態(tài)的靜態(tài)半徑值，精密離心機(jī)在工作狀態(tài)的半徑等于該靜態(tài)半徑值與轉(zhuǎn)盤或大臂的徑向動態(tài)變化量之代數(shù)和。
上述反算法測量靜態(tài)半徑的具體步驟如下:
 
第 1 步: 使用**重力儀測量當(dāng)?shù)刂亓铀俣戎?，并用精密分度頭等專業(yè)儀表使加速度計工作軸向與重力加
 
速度方向成不同的角度，讀取加速度計在 0 ～ 1g 加速度輸入下的電壓或電流輸出值，擬合出加速度計在重力場下的零次項系數(shù)和標(biāo)度因數(shù)，標(biāo)定出加速度計的一次靜態(tài)模型方程;
 
第 2 步: 將待測加速度計安裝到精密離心機(jī)的定位平臺或夾具上，調(diào)整加速度計姿態(tài)使加速度計輸入軸盡量與精密離心機(jī)工作半徑方向重合。
 
第 3 步: 驅(qū)動精密離心機(jī)轉(zhuǎn)動，使待測加速度計
 
輸出電壓或電流等于 U_g ( U_g 對應(yīng)的加速度計輸入值記為 a_g ，通?；鶞?zhǔn) a_g 約為 1 g 或小于 1 g ) 時，穩(wěn)定轉(zhuǎn)速，此時的轉(zhuǎn)速記為 ω_g 。對于較高精度的精密離心機(jī)，此狀態(tài)下加速度計輸入軸上感知的加速度除了向

心加速度，還包括重力加速度以及科里奧利加速度
等，根據(jù)加速度載荷簡化公式，有:
ag  = ω2g Ｒ + λg g ± 2ωg ωε Ｒsin θ				( 1)
為了便于測量，式( 1) 可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為:
ag  = ω2g Ｒ + ( λ +  λg ) g ± 2ωg ωε Ｒsin θ				( 2)
式中: Ｒ 為精密離心機(jī)在加速度 ag  下的基準(zhǔn)半徑，即靜
態(tài)半徑; λg  為角速度等于 ωg  時的俯仰失準(zhǔn)角，rad，包括
動態(tài)俯仰失準(zhǔn)角  λg  和靜態(tài)俯仰失準(zhǔn)角 λ; ωε				為地球自
轉(zhuǎn)角速度，rad / s; θ 為精密離心機(jī)所在之地的地球緯度。
對于北半球G家，精密離心機(jī)逆時針方向旋轉(zhuǎn)時式( 1) 、
( 2) 中“± ”號取“+ ”。
通過式( 1) 即可反解出靜態(tài)半徑為:
	ag  － λg g		ag  － ( λ +  λg ) g	( 3)
Ｒ =		=
	ω2g  ± 2ωg ωε sin θ		ω2g  ± 2ωg ωε sin θ
式中:
ag  = Ug / k1  － k0				( 4)
式中: k0  為待測加速度計的偏值，g 或 m / s2 ; k1  為待測加
速度計的標(biāo)度因素，V / g 或 A / g。
聯(lián)合俯仰失準(zhǔn)角和旋轉(zhuǎn)角速度測量結(jié)果，即可得到
靜態(tài)半徑值。式( 1) 可看出，俯仰失準(zhǔn)角 λg  應(yīng)該包括加
速度計輸入軸和安裝夾具帶來的失準(zhǔn)角偏差，然而實際
采用電子水平儀測量得到的俯仰失準(zhǔn)角是定位平臺或離
心機(jī)大臂相對于地球表面的角度。即使采用其他測量裝
置也很難直接準(zhǔn)確測量得到加速度計輸入軸相對于地表
的俯仰失準(zhǔn)角。粗略計算，1″的俯仰失準(zhǔn)角偏差將導(dǎo)致
靜態(tài)半徑 5 × 10 － 6 的相對誤差，而實際加速度計及安裝夾
具的俯仰失準(zhǔn)角不止 1″。因此如何補(bǔ)償不可測的俯仰失
準(zhǔn)角成為制約上述靜態(tài)半徑測量方法在高精度精密離心
機(jī)上應(yīng)用的關(guān)鍵。
此外，待測加速度計自身分辨率以及各測量儀器
的誤差將通過式 ( 3 ) 的間接測量關(guān)系影響靜態(tài)半徑
反算精度。精密離心機(jī)輸出加速度因素考慮不全面
也會導(dǎo)致加速度模型式 ( 1 ) 與加速度計實際輸入的
值存在偏差，進(jìn)而影響靜態(tài)半徑測量準(zhǔn)確度。一般精
密離心機(jī)的精度都是高于待標(biāo)定加速度計的精度 1
或 2 個量級，而靜態(tài)半徑測量精度又必須高于精密離
心機(jī)的精度。表面上看，采用低精度的待測加速度計
來反算高精度的靜態(tài)半徑是矛盾的。實際上反算法
測量靜態(tài)半徑只利用了重力場下的加速度計輸入輸
出特性。重復(fù)性精度方面，待測加速度計在重力場下
已校準(zhǔn)得到的一次靜態(tài)模型以及精密離心機(jī)主軸轉(zhuǎn)
速的重復(fù)性精度可以做到很高，能夠滿足靜態(tài)半徑測
量重復(fù)性精度要求。系統(tǒng)誤差方面，上述反算法受加
速度計自身和加速度模型方程式 ( 4 ) 以及測量儀器
的系統(tǒng)偏差影響較大。 2． 2 反算法改進(jìn)               傳統(tǒng)的靜態(tài)半徑反算法是將待測加速度計安裝到精   密離心機(jī)上，調(diào)整好加速度計輸入軸姿態(tài)盡量與精密離 心機(jī)工作半徑方向重合后，直接驅(qū)動精密離心機(jī)旋轉(zhuǎn)，記 錄加速度計輸出值 Ug  和對應(yīng)的轉(zhuǎn)速 ωg ，其中 Ug  對應(yīng)的 加速度計輸入值為 ag ，通常 ag  約為 1g 或小于 1g。本文 提出的靜態(tài)半徑反算法是在調(diào)整好待測加速度計輸入軸 盡量與精密離心機(jī)工作半徑方向重合后，進(jìn)行以下 2 次 反算:                         shou先，不啟動精密離心機(jī)旋轉(zhuǎn)，直接讀出此時待測加 速度計的輸出電壓或電流值，記為 U0 。由于此狀態(tài)精密 離心機(jī)轉(zhuǎn)速為零，加速度計輸入軸感知到的加速度只有 俯仰失準(zhǔn)角作用下的重力加速度，即:                           ( 5)   a0  = gλ                               式中: a0  為不啟動離心機(jī)時的待測加速度計輸入值; λ 為 加速度計輸入軸相對于地表的靜態(tài)俯仰失準(zhǔn)角，rad。 一般電子水平儀測量得到的是定位平臺或離心機(jī)大   臂相對于地表的俯仰失準(zhǔn)角，故將 λ 分為 2 個角度之和   的形式，即:                                       a0  = g( λ0  + λ1 )           ( 6)                   式中: λ0  為可測量的定位平臺或大臂相對于地表的靜態(tài)   俯仰失準(zhǔn)角，rad。λ1  為不可測的或測不準(zhǔn)的加速度計靜   態(tài)俯仰失準(zhǔn)角，rad。                               其次，啟動精密離心機(jī)旋轉(zhuǎn)，使待測加速度計輸出電   壓或電流為基準(zhǔn)值 Ug ，穩(wěn)定轉(zhuǎn)速，讀出此時的精密離心   機(jī)轉(zhuǎn)速 ωg 。有:                               ag  = ω2g Ｒ + ( λ0 + λ1  +   λg ) g ± 2ωg ωε Ｒsin θ ( 7)   式中:  λg  為 ωg  轉(zhuǎn)速下的動態(tài)俯仰失準(zhǔn)角，rad。           式( 6) 與( 7) 相減，并利用重力場下已標(biāo)校好的待測   加速度計標(biāo)度因數(shù) k1 ，有:                             ag  － a0  － λg g ( Ug  － U0 ) / k1  －  λg g     Ｒ =         ( 8)               =                 2       2                 ± 2ωg ωε sin θ             ωg     ωg  ± 2ωg ωε sin θ     如果調(diào)整待測加速度計在精密離心機(jī)定位平臺上的 姿態(tài)后靜態(tài)俯仰失準(zhǔn)角和方位失準(zhǔn)角仍然較大，其量級 影響了靜態(tài)半徑的測量精度，則必須補(bǔ)償二者對靜態(tài)半 徑的影響，其影響規(guī)律按式( 9) 進(jìn)行補(bǔ)償:     Ｒ =       ( Ug  － U0 ) / k1 －  λg g   ( 9)     (   2 ) cos λ0 cos λ2                               ωg  ± 2ωg ωε sin θ       式中: λ2  為可測量的方位失準(zhǔn)角，即加速度計安裝平臺 在上平面內(nèi)相對于離心機(jī)半徑方向的偏角，rad。     式( 8 ) 或 ( 9 ) 是本文提出的靜態(tài)半徑計算模型， 該測量方法補(bǔ)償了不可測的加速度計輸入軸和夾具 安裝俯仰失準(zhǔn)角對靜態(tài)半徑的影響; 而且通過兩次加 速度計的輸入加速度值相減，加速度計自身、精密離 心機(jī)加速度模型、測量儀器中的系統(tǒng)誤差以及加速度 計偏值 k0  被抵消，進(jìn)一步提高了測量準(zhǔn)確度。此外，與原有反算法相比，該測量方法不需要對靜態(tài)俯仰失準(zhǔn)角進(jìn)行測量，減小了測量誤差源。改進(jìn)后的靜態(tài)半徑反算法測量過程如圖 2 所示。

可編程精密電源采用 Agilent B2900 A 型，為待測加速度計提供高精度 ± 15 V 電壓，加速度計輸出電壓或電流利用 KEITHLE2002 型八位半數(shù)字萬用表并經(jīng)
 
GPIB 接口傳輸?shù)?nbsp;PXI 機(jī)箱。角速度測量系統(tǒng)主要由圓光柵編碼器與頻率計組成，圓光柵編碼器反饋信號通過頻率計計算得到精密離心機(jī)的轉(zhuǎn)速，自研的精密離心機(jī)實際角速度相對不確定度可控制到 10 ^－ 7 ～
 
10 ^－ 8 量級。動態(tài)俯仰失準(zhǔn)角是通過電容測微儀測量精密離心機(jī)轉(zhuǎn)盤邊沿的上下擺動位移量來間接測量，利用光柵輸出的 Z 脈沖對測點定位，消除轉(zhuǎn)盤表面形狀誤差。由水銀集流環(huán)傳輸?shù)?PXI 機(jī)箱進(jìn)行信號展寬、濾波等調(diào)理。電容測微儀為德G米銥公司的 CS 系列，采用定位測量，其測量不確定度可以控制到亞微米量級。
 
4 測量不確定度評定模型
 
 
由于誤差評估固有的缺陷，例如不可量化、誤差定義
 
［15］
與實際評定不符 。越來越多的學(xué)者采用測量不確定度來評價測量結(jié)果的精度。高精度精密離心機(jī)對靜態(tài)半徑測量精度要求非常高，因此，科學(xué)合理的測量不確定度
 
評定變得異常重要。
 
上述改進(jìn)的靜態(tài)半徑測量模型中，靜態(tài)半徑 Ｒ 通過間接測量得到，其測量誤差源主要來自于加速度基準(zhǔn) a_g ( 或 U_g ) 、a₀ ( 或 U₀ ) 、動態(tài)俯仰失準(zhǔn)角 λ_g 、旋轉(zhuǎn)角速度 ω_g 4 個分量。測量模型中的其余常量只要取足夠的有效位數(shù)，引入的不確定度可忽略不計。需要注意的是 U_g 和 U₀ ( 即 a_g 和 a₀ ) 是同一加速度計的輸出值，二者明顯相關(guān)?；跍y量不確定度傳遞公
［15］
 
式 ，通過推導(dǎo)、簡化，靜態(tài)半徑測量不確定度傳遞模型為:
 
u_r ( Ｒ) ≈
 

2

( ω ) +

g2

2

(

λ )

2

( a )

a02

2

( a )

2ra0

u' ( a ) u' ( a )

4 u

u

+ u

+

u

－

r

g

a2g

g

r

g

a2g

r

0

ag

r    gr   0

( 10)

 
式中: u_r ( Ｒ) 是靜態(tài)半徑 Ｒ 的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度; u_r ( ω_g ) 是角速度 ω_g 的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度; u_r ( a_g ) 是加速度 a_g
的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度; u( λ_g ) 是動態(tài)俯仰失準(zhǔn)角 λ_g  的
 
標(biāo)準(zhǔn)不確定度，rad; u_r ( a₀ ) 是加速度 a₀ 的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度; u^'_r ( a_g ) 是 a_g 的由系統(tǒng)效應(yīng)引入的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度; u^'_r ( a₀ ) 是 a₀ 的由系統(tǒng)效應(yīng)引入的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度; r 是 a₀ 與 a_g 的相關(guān)系數(shù)。
 
一般 a_g ≈g，a_g 和 a₀ 不在同一數(shù)量級，且 a_g ＞ ＞ a₀ ，其相關(guān)系數(shù)較小可以不考慮，而且 u_r ( a₀ ) 的傳遞系數(shù)很小，則靜態(tài)半徑測量不確定度傳遞模型可簡化為:
 
u_r ( Ｒ) ≈  4u²_r ( ω_g )  + u² (  λ_g )  + u²_r ( a_g )     ( 11) 需要說明的是，式( 11 ) 的計算結(jié)果準(zhǔn)確性不比式 ( 10 ) 差，這是由模型本身的特征決定的，為了簡化評
 
定復(fù)雜度，本文采用式 ( 11 ) 作為靜態(tài)半徑測量不確定度的傳遞模型，其不確定度值由加速度值 a_g 、動態(tài)俯仰失準(zhǔn)角 λ_g 以及旋轉(zhuǎn)角速度 ω_g 3 個分量決定。5 10 ^－ 5 量級精密離心機(jī)靜態(tài)半徑實測
 
圖 4 所示是利用所提方法對研制的加速度相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度為 10 ^－ 5 量級的精密離心機(jī)靜態(tài)半徑進(jìn)行測量的實物圖。安裝就緒后先旋轉(zhuǎn)離心機(jī)到高速借助離心力將螺栓緊固。實際應(yīng)用時加速度計輸入軸指向主軸和相反方向 2 種狀態(tài)的靜態(tài)半徑不相等，可以取兩者的平均作為靜態(tài)半徑值，亦或分開測量。

的問題，提出一種改進(jìn)的靜態(tài)半徑測量方法。推導(dǎo)出該測
 
量方法新的數(shù)學(xué)模型以及對應(yīng)的測量不確定度傳遞模型。搭建了測量系統(tǒng)，對研制的 10 ^－ 5 量級精密離心機(jī)靜態(tài)半徑進(jìn)行了實測。相同條件下，本文測量方法與基于文獻(xiàn)［9］的測量結(jié)果相差 10 ^－ 4 量級，該偏差對 10 ^－ 5 和 10 ^－ 6 量級的精密離心機(jī)影響嚴(yán)重，不可忽視。本文方法的靜態(tài)半徑相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度評定結(jié)果約為 3． 9 × 10 ^－ 6 。理論分析和實測結(jié)果說明了本文測量方法在正確度和不確定度兩方面具
 
有的雙重優(yōu)勢。
 
反算法測量的是加速度計質(zhì)心到主軸回轉(zhuǎn)軸線的距離，準(zhǔn)確度遠(yuǎn)高于基于精密量塊等儀器的直接測量方法，而且本文提出的反算測量方法補(bǔ)償了不可測的俯仰失準(zhǔn)
 
角、加速度模型以及測量儀器的系統(tǒng)誤差對靜態(tài)半徑測量精度的影響，測量準(zhǔn)確度得到了較大提高。本文提供的測量方法及不確定度評定模型可以為 10 ^－ 5 或 10 ^－ 6 量
 
級的高精度精密離心機(jī)研制提供一定的技術(shù)支撐。